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relativistischer Dopplereffekt

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klassischer Dopplereffekt

$f_E=f_S \left( \frac{c - v_E}{c - v_S}\right)$

f_E: Empfängerfrequenz

f_S: Sendefrequenz

v_E: Geschwindigkeit des Empfängers im Medium

v_S: Geschwindigkeit des Senders im Medium

c: Wellengeschwindigkeit im Medium

Vorzeichenwahl: Geschwindigkeiten in Richtung der Welle sind Positiv

relativistischer Dopplereffekt

Um relativistische Effekte zu beachten muss nur noch die Zeitdilatation berücksichtigt werden. Man muss also ersetzen:

$f_E \rightarrow \frac{f_E}{\gamma(v_E)}$

und

$f_S \rightarrow \frac{f_S}{\gamma(v_S)}$

mit

$\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Daraus ergibt sich der symmetrische relativistische Dopplereffekt zu:

$f_E =f_S\frac{\gamma(v_E)}{\gamma(v_S)}\left(\frac{c-v_E}{c-v_S}\right) = f_S \sqrt{\frac{(c+v_S)(c-v_E)}{(c-v_S)(c+v_E)}}$

Diese Formel lässt sich vereinfachen, wenn man die Differenzgeschwindigkeit Δv nach dem Additionstheorem für Geschwindigkeiten einsetzt:

$\Delta v=\frac{v_S-v_E}{1-\frac{v_Sv_E}{c^2}}$

Damit ergibt sich der relativistische Dopplereffekt endgültig zu:

$f_E=f_S\sqrt{\frac{c+\Delta v}{c-\Delta v}}$

Vergleich

Der Dopplereffekt bei bewegtem Sender

Hier sind die Dopplerverschiebungen miteinander verglichen. Nach oben ist das Verhältnis f_E / f_S aufgetragen. In der Mitte ist die Sendergeschwindigkeit Null und das Verhältnis 1. Nach links ist das Verhältnis für negative Sendergeschwindigkeiten aufgetragen. Der Sender entfernt sich und wir haben eine Rotverschiebung. Nach rechts sind positive Sendergeschwindigkeiten angenommen und wir bekommen Blauverschiebung.

Relativistsich gerechnet ist die Blauverschiebung schwächer und die Rotverschiebung stärker als klassisch erwartet. Das ist darauf zurückzuführen, dass die Zeitdilatation die Vorgänge in der Quelle immer verlangsamt. Die Frequenz wird dadurch niedriger, also rotverschoben.

Der Dopplereffekt bei bewegtem Empfänger

Dieses Bild zeigt die Kurven bei bewegtem Empfänger. Hier habe ich das Vorzeichen umgedreht, so dass wieder links die Rotverschiebung und rechts die Blauverschiebung zu sehen ist. Hier ist es genau andersherum die Rotverschiebung ist relativistisch schwächer und die Blauverschiebung (erheblich) stärker. Auch hier wirkt die Zeitdilatation in beiden Fällen gleich. Die Uhr des Empfängers geht langsamer, so dass er die Frequenzen blauverschoben (=schneller) wahrnimmt. Beachtenswert ist, dass die relativistische Kurve in beiden Fällen identisch ist.

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Letzte Änderung: 03.11.2007