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Gravitationspotenzial der Sonne

Gravitationspotenzial der Sonne

Auf dieser Seite möchte ich den Einfluss der Sonne auf den Uhrengang der GPS-Satelliten abschätzen. Dazu berechne ich zunächst nur die Gravitationsbeschleunigung und dann die Zentrifugalbeschleunigung. Die Differenz gibt dann die Gezeitenkraft, aus der sich das Potenzial berechnen lässt.

Gravitationsbeschleunigung

Die Gravitationskraft, die ein Körper der Masse M auf einen Körper der Masse m ausübt, ist gegeben durch:

Fs=-fmM/r² (1)

mit der Gravitationskonstanten

f=6,6e-11 (2)

Normieren wir das ganze mit der Probemasse m und setzen die Werte für die Sonne ein, so erhalten wir:

- (3)

Dabei bezeichnen MS=1,989 1030kg die Sonnenmasse und r0=1,496 1011m den mittleren Abstand der Erde zur Sonne.

Nun betrachten wir, wie sich die Fallbeschleunigung ändert, wenn man sich von dem mittleren Abstand um den kleinen Wert Δr entfernt:

- (4)

Das kann man als Reihe entwickeln:

- (5)

also:

- (6)

Zentrifugalbeschleunigung

Der Gravitationskraft steht die Zentrifugalkraft gegenüber, die sich nach der Formel

- (7)

berechnet.

Auch die kann man mit der Probemasse normieren und die Werte für die Bewegung der Erde um die Sonne einsetzen:

- (8)

Wobei v0=29,8km/s die Geschwindigkeit der Erde relativ zur Sonne ist.

Es ist nicht überraschend, dass gilt:
gZ(r0) = − gS(r0)
Am Ort der Erde heben sich die Fallbeschleunigung zur Sonne und die entgegengesetzte Zentrifugalkraft gerade auf. Wir befinden uns in einem frei fallenden Bezugssystem. Wir definieren deshalb über den Betrag der Fallbeschleunigung zur Sonne eine Grundgröße g0:

- (9)

Hier können wir nun sehen, wie sich die Zentrifugalkraft ändert, wenn wir den Abstand von der Sonne um den kleinen Wert Δr erhöhen. Dabei ändert sich auch die Geschwindigkeit, weil der betrachtete Punkt mit der Erde gemeinsam um die Sonne kreisen soll. Und zwar nehmen wir ein Koordinatensystem an, dessen r-Achse immer von der Sonne wegzeigt und durch den Erdmittelpunkt geht. Ein Punkt im Erdmittelpunkt hat die Geschwindigkeit v0. Da die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, muss die Geschwindigkeit mit dem Radius linear zunehmen:

- (10)

Das können wir jetzt in die Formel für die Zentrifugalbeschleunigung einsetzen:

- (11)

Gezeitenbeschleunigung und -kraft

Nun kann man die beiden errechneten Beschleunigungen addieren und erhält so die resultierende Gezeitenbeschleunigung:

- (12)

oder als Reihenentwicklung bis zum quadratischen Term:

- (13)

Hieraus kann leicht die Gezeitenkraft auf eine Probemasse m berechnet werden:

- (14)

Beispiel: Gezeitenkraft auf der Erde

Die Fallbeschleunigung durch die Sonne ist: g0=0,0059m/s2

Der Erdradius beträgt re=6,378 106m.

Im Verhältnis zum Sonnenabstand r0=1,496 1011m.

ergibt sich re/r0=4,263 10-5.

Damit erhalten wir eine Gezeitenbeschleunigung auf der Erdoberfläche von:

- (15)

Das Potenzial

Nun kann man durch Integration das Potential ausrechnen:

-

- (16)

Der erste Term ist symmetrisch, auf der Mittagsseite (der Sonne zugewandt) ergibt sich das selbe Potential, wie auf der Mitternachtsseite. Dies ist der Grund, warum die Periode der Gezeiten 12 und nicht 24 Stunden beträgt. Nur der zweite, im Abstand kubische Term ist auf der Mitternachtsseite grösser als auf der Mittagsseite, weil man sich dort höher im Potential der Sonne befindet.

Auch hier können wir wieder die oben genannten Werte einsetzen und erhalten auf der Erdoberfläche:
Für die Mittagsseite:

- (17)

und für die Mitternachtsseite:

- (18)

Die Korrektur durch den kubischen Term kann man offenbar vernachlässigen.

Nun möchte ich das Potential ausrechnen, in dem sich ein GPS-Satellit bewegt. Der Bahnradius dieser Satelliten beträgt immerhin:
rGPS=2,656 107m
Damit folgt für die Mittagsseite:

- (19)

gravitative Zeitdilatation

Könnte man mit den GPS-Atomuhren die gravitative Zeitdilatation durch das Sonnenpotential nachweisen? Hierzu muss man die gravitative Rotverschiebung berechnen:

- (20)

Das macht eine Uhrenabweichung von nur etwa 38 Picosekunden pro Tag aus und liegt leider außerhalb der Genauigkeit der transportablen Atomuhren. Zum Vergleich: Die gravitative Rotverschiebung aufgrund des Erdfeldes beträgt 4,46 10-10, ist also Millionen mal größer.

Letzte Änderung: 23.06.2009

© Joachim Schulz