Auf der Seite zum Zwillingsparadoxon rechne ich Lorentztransformationen zu verschiedenen Zeiten und Orten mit verschiedenen Richtungen der Geschwindigkeit vor. Dabei lasse ich langwierige Zwischenrechnungen weg. Auf Nachfrage eines Lesers habe ich nun die Rechnung, bei der xd=x herauskommt, einmal ausführlich nachvollzogen. Bitte verzeihen Sie mir gelegentliche Schmierereien. Ich mache solche Rechnungen nur noch selten.
Zunächst habe ich einfach alle relevanten Formeln rausgeschrieben:
Formel (1) ist einfach die Lorentztransformation, wie ich sie im Abschnitt d) der Zwillingsparadoxon-Seite, die ersten zwei Terme aufgeschrieben habe. Formel (2), (3) und (4) sind die Ergebnisse aus dem vorhergehenden Abschnitt c).
Zunächst errechne ich die in Formel (1) vorkommende Klammer (tc-tcN). Das ist einfach die Differenz (3)-(4):
In der obersten Zeile kann ich zwei Terme direkt wegstreichen, weil sie mit unterschiedlichen Vorzeichen vorkommen. Die weiteren drei Zeilen sortieren die Terme für mich übersichtlich und ziehen einen Gamma-Faktor vor die Klammer.
Jetzt kann ich das Ergebnis (5) und die oben genannte Formel (2) in die zu lösende Formel (1) einsetzen und erhalte folgendes:
In der zweiten Zeile ziehe ich ein Gamma-Quadrat vor die Klammer und kann zwei Terme wegstreichen, die mit umgekehrtem Vorzeichen vorkommen.
Das Gamma-Quadrat ist definiert als:
Das kann ich nun in (7) einsetzen und erhalte:
Die Faktoren vor dem x kürzen einander raus, so dass einfach x herauskommt. Die Koeffizienten von s finden sich immer paarweise negativ und positiv, so dass das Ergebnis von s unabhängig ist. Damit wäre die erste der beiden Formeln
aus Abschnitt d) der Zwillingsparadoxon-Seite nachgerechnet.
Als nächstes überprüfe ich die zweite Formel. Wie zuvor schreibe ich erstmal die Formel für td ab (Formel (1)) und entnehme Abschnitt c) die Formeln (2), (3) und (4):
Jetzt berechne ich den Ausdruck (tc-tcN):
Das habe ich oben ebenfalls in (5) schonmal gemacht und es ist beruhigend, dass dasselbe herauskommt. Nur habe ich diesmal die Terme in anderer Reihenfolge stehengelassen.
Als nächstes berechne ich den ganzen Klammerausdruck aus Gleichung (1), indem ich von Gleichung (5) den entsprechenden Term mit xc abziehe:
In der zweiten Zeile bilde ich eine gemeinsame Klammer, vor der nur ein Gamma-Faktor stehen bleibt. Dort fallen schon zwei Terme mit umgekehrtem Vorzeichen raus. In der dritten Zeile sortiere ich die Terme. Bleistiftstriche zeigen Zusammenhänge. In der vierten Zeile vereinfache ich noch etwas mehr, indem ich schonmal eine Klammer bilde, die dem Faktor Eins durch Gamma-Quadrat entspricht.
Nun kann ich endlich das Ergebnis von Formel (6) und Formel (2) in (1) einsetzen:
In der zweiten Zeile habe ich das Einsetzen vollzogen und kann gleich ein Gamma-Quadrat durch den oben erwähnten Klammerausdruck loswerden. Im letzten Term kann ich kürzen. In der dritten Zeile schreibe ich die verbliebenen Terme nochmal hin und kann das tau loswerden (zweimal mit unterschiedlichem Vorzeichen). Dann muss ich die vorhandenen Terme nur noch sortieren und komme auf das Ergebnis, wie es auf der Seite zum Zwillingsoaradoxon Abschnitt d) angegeben ist.
Letzte Änderung: 16.10.2014
© Joachim Schulz