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bewegter Laser

Interferenz zweier gegenläufiger EM-Wellen mit gleicher Wellenlänge (stehender Laser)

Man betrachtet häufig nur den Fall einer stehenden Welle, bei der zwei gegenläufige ebene Wellen gleicher Wellenlänge und Amplitude miteinander interferieren. Das führt zu dem bekannten Phänomen, dass sich in regelmäßigen Abständen Schwingungsknoten ausbilden, an denen die Amplitude der Welle zu jedem Zeitpunkt E = 0 ist. An allen anderen Stellen ändert sich das E-Feld periodisch, wobei das jeweils mögliche Maximum der Auslenkung (E-Feld Stärke) vom Ort abhängig ist.

In diesem Zusammenhang ist dann auch schnell klar, warum gerade die Resonanzbedingung

Resonanzbedingung stehend

erfüllt sein muss. Wenn man sich die Spiegel einfach als plane Leiteroberflächen vorstellt, dann wird klar, dass es dort zu keiner Zeit eine Komponente des E-Feldes von 0 verschieden parallel zur Oberfläche geben darf. Diese Bedingung bedeutet aber, dass an den Metalloberflächen immer Schwingungsknoten sein müssen. Wenn man jetzt die Interferenz der stehenden Wellen berechnet, sieht man, dass die Knoten genau im Abstand einer halben Wellenlänge auftreten:

Intensität und Auslenkung stehende Welle

Die rote Kurve ist hier der Betrag des E-Vektors (y-Achse im Diagramm) an verschiedenen x-Koordinaten (x-Achse im Diagramm). Es ist also das Feld nur entlang einer Geraden durch den Laser dargestellt. Wir wollen uns hier auch auf den einfachen eindimensionalen Fall beschränken. In Wahrheit kann es viele verschiedene Lichtwege in einem solchen Resonator geben, was aber für das zugrunde liegende Prinzip des an dieser Stelle betrachteten Sachverhaltes nicht so wichtig ist.

In dem Plot ist auch gleich noch die Intensität mit eingezeichnet. Wie man sieht, bleibt sie die ganze Zeit über an jedem Ort konstant. Die Intensität bleibt immer genau bei den Schwingungsknoten konstant 0. Umgekehrt kann man auch sagen, dass sich nur an solchen Orten, an denen die Intensität 0 ist, Spiegel befinden dürfen, damit die Resonanz erhalten bleibt. Wenn man sich die Welle anschaut, kann man erkennen, dass diese Knotenpunkte immer genau eine halbe Wellenlänge auseinander liegen. Also ist die Resonanzbedingung, dass der Abstand der Spiegel gerade ein ganzzahlig Vielfaches der halben Wellenlänge des Lichtes sein muss, wie in der Formel oben angegeben.

Interferenz zweier gegenläufiger EM-Wellen mit unterschiedlicher Wellenlänge (bewegter Laser)

Was passiert nun bei einem in Strahlrichtung bewegten Laser? Wir haben gesehen, dass an den Spiegeln immer ein Schwingungsknoten sein muss. Außerdem wissen wir, dass der Abstand zwischen den Spiegeln wegen der Längenkontraktion des bewegten Lasers geringer wird.

Bei einem bewegten Laser sind die Atome, die das Licht emittieren, auch mit dem Laser mitbewegt. Bei einer bewegten Lichtquelle sind die emittierten elektromagnetischen Wellen aber dopplerverschoben. Das Licht, das in Bewegungsrichtung ausgestrahlt wird, hat eine höhere Frequenz und damit eine kürzere Wellenlänge, ist also blauverschoben, und das Licht, das entgegengesetzt emittiert wird, ist rotverschoben. Die Formeln für die relativistische Dopplerverschiebung sind:

Frequenz nach links laufender Welle

Frequenz nach rechts laufender Welle

Die beiden gegenläufigen Wellen haben also nicht mehr die selbe Wellenlänge (und Frequenz), wie im unbewegten Zustand.

Dabei ist auch wichtig, dass die Wellen nach der Reflexion an den Spiegeln jeweils wieder die Frequenz und Wellenlänge haben müssen, wie die entgegenlaufende. Wenn also die Welle zuerst entgegen der Bewegungsrichtung emittiert wurde und deshalb rotverschoben ist, muss sie nach der Reflexion am hinteren Spiegel Wellenlänge und Frequenz so ändern, dass sie danach in Wellenlänge und Frequenz exakt der Wellen entspricht, die von den Atomen in Bewegungsrichtung emittiert werden. Auch diese Änderung kann man sich mit dem Dopplereffekt erklären. Wenn man sich vorstellt, dass ein Spiegel das Licht empfängt und sofort wieder emittiert, hat man an einem Spiegel einmal eine Dopplerverschiebung beim Empfangen und dann nochmal um den selben Faktor beim Senden. So kommt es zu einer Frequenzänderung, die genau dem Quadrat der einfachen Dopplerverschiebung entspricht. Aus der rotverschobenen Welle wird exakt die blauverschobene.

Die beiden gegenläufigen und dopplerverschobenen Wellen interferieren und ergeben dabei eine Welle, deren Knoten mit dem Laser mitlaufen und um den Gamma-Faktor näher beieinander liegen, so dass es für die Längenkontraktion und Bewegung des Lasers passend ist

0,5 c

0,5 c

Im oberen Plot sind nochmal die beiden gegenläufigen Wellen dargestellt. Wie man sieht, sind die Wellenlängen unterschiedlich. Im unteren Plot sieht man die Stärke des E-Feldes (rot) und die Intensität (grün). Die Intensität macht das, was wir erwartet haben, sie läuft von rechts nach links und der Abstand ist längenkontrahiert (hier beta = 0,5 und gamma = 1,15).

Eigentlich hätte mancher sicher erwartet, dass die Auslenkung jetzt so aussehen müsse, wie im Fall des ruhenden Lasers, nur dass alles etwas enger zusammen gezogen ist und die Schwingungsknoten mit dem Laser mit laufen. Um verstehen zu können, warum die Amplitude aber in Wahrheit etwas komplizierter aussieht, muss man bedenken, dass auch die Gleichzeitigkeit in diesem neuen Inertialsystem sich von der Gleichzeitigkeit unterscheidet, wie sie im Ruhesystem des Lasers ist. Um das besser verstehen zu können, kann man sich die Situation in einem Minkowski-Diagramm verdeutlichen.

Wir haben also gesehen, dass es nicht genügt einfach die allgemein bekannten Folgerungen der speziellen Relativitätstheorie, wie Längenkontraktion und Zeitdilatation anzuwenden. Es ist immer auch wichtig sich ein solches System bewegt vorzustellen, also die Dynamik dabei nicht zu vergessen. So muss man eben auch berücksichtigen, dass sich die Spiegel bei einem bewegten Laser auch bewegen und genau so auch die Atome des Lasermediums. Durch die Bewegung kommt es zu dopplerverschobenen Wellen, deren Interferenz tatsächlich zu einer Situation führt, bei der Abstand der Intensitätsknoten längenkontrahiert ist und die Knoten nicht mehr stehen, sondern sich mit den Spiegeln des Resonators mitbewegen.

Auch die Relativität der Gleichzeitigkeit spielt immer eine wichtige Rolle. Um die Zusammenhänge hier besser verstehen zu können, ist es manchmal hilfreich, wenn man sich ein entsprechendes Minkowskidiagramm zeichnet. Insgesamt erfordert es aber sicherlich immer eine gewisse Übung, um solche Zusammenhänge wirklich begreifen zu können.

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Letzte Änderung: 05.11.2005

© Gastbeitrag von Marco Rothley