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Berechnung der gravitativen Zeitdilatation

Nach der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verhalten sich physikalische Systeme, die der Schwerkraft ausgesetzt sind, genau so wie beschleunigte Systeme. Die Formel, die ich in dem Gedankenexperiment zur relativistischen Beschleunigung hergeleitet habe, lässt sich also direkt auf die so genannte gravitative Rotverschiebung anwenden.

Als gravitative Rotverschiebung bezeichnet man den Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie, dass Uhren in großer Höhe etwas schneller laufen als Uhren am Boden. Bekannt ist dieser Effekt als relativistische Korrektur im Satellitennavigationssystem GPS. In der Rechnung auf der Seite zur relativistischen Beschleunigung haben wir nun gesehen, dass die Buguhr einer Rakete mit der Länge L nach der Beschleunigung auf die Geschwindigkeit v um die Zeitdifferenz

Dt=vL/c^2

vorgeht

Um die gravitative Rotverschiebung für einen Satelliten zu berechnen, muss man zusätzlich noch Berücksichtigen, dass die Schwerkraft abnimmt, wenn man sich von der Erde entfernt. Um in einem einfachen Beispiel zu bleiben, möchte ich lieber eine geringere Höhe annehmen, bei der man die Fallbeschleunigung (g=9,81 m/s²) als konstant annehmen kann.

Vergleicht man zum Beipiel die Uhr eines Flugzeugs, dass sich 15 Stunden lang in 30000 Fuß Höhe aufhält, mit einer Uhr am Boden, so ergibt sich der selbe Zeitunterschied wie bei unserer Rakete, wenn sie 30000 Fuß lang ist und 15 Stunden lang mit 9,81 m/s² beschleunigt hat. Diese Rakete hätte nach 15 Stunden eine Geschwindigkeit von v=529.740 m/s. Man kann nun die Zeitdifferenz der beiden Uhren nach obiger Formel berechnen, indem man die Geschwindigkeit v durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit teilt und mit der Höhe von 30000 Fuß multipliziert. Dabei kommt ein Wert von 53,9 Nanosekunden heraus.

Eine Uhrenabweichung von 53,9 Nanosekunden in 15 Stunden lässt sich mit Atomuhren gut messen. Das hier angegebene Beispiel wurde in dem so genannten Maryland-Experiment 1975/76 tatsächlich durchgeführt. Bei 15-Stunden-Flügen in 30000 Fuß Höhe haben Wissenschaftler von der Universität Maryland eine Zeitabweichung von 52,8 Nanosekunden nachgewiesen. Die kleine Abweichung meiner Abschätzung zum Experiment ist darauf zurückzuführen, dass die Schwerkraft über diese Höhe nicht exakt konstant ist. Eine genauere Analyse, die in Maryland durchgeführt wurde, gab eine Genauigkeit von einem halben Prozent.

Letzte Änderung: 31.08.2007

© Joachim Schulz