Auf dieser Seite möchte ich darstellen, wie man das Beispiel einer relativistisch schnell bewegten Lochkamera unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie rechnet. Dies ist der zweite Fall. Eine Übersicht gibt es in der Einleitung zur relativistischen Lochkamera.
Der zweiter Fall meiner Rechnung zur bewegten Lochkamera unterscheidet sich von Fall 1 der Lochkamera ausschließlich in der Wahl des Belichtungszeitpunkts. Der Auslösezeitpunkt der Kamera wird hier so gewählt, dass man das Objekt unter Berücksichtigung der Lichtlaufzeit unabhängig von seiner Bewegungsrichtung stets im Abstand S erwischt.
Aus der Sicht der ruhenden Kamera sieht dieser Fall sehr einfach aus:
Das Licht verlässt zu einer Zeit t1 das Objekt am Ort x1 und läuft die Strecke S zur Lochblende der Kamera. Den Ort der Lochblende nennen wir x2, die Zeit zu der das Licht dort ist t2. Genau im Moment t2 soll die Kamera ausgelöst werden. Das Licht läuft nun die Stecke L weiter zum Kameraboden am Ort x3 und erreicht ihn zur Zeit t3.
Wir wählen den Zeitnullpunkt identisch zum ersten Fall so, dass wir die Zeit und Längenskala am Zeitpunkt t2 und Ort x2 starten lassen:
Das Licht hat zu dem Zeitpunkt bereits die Stecke S mit Lichtgeschwindigkeit c zurückgelegt und wir erhalten (ebenfalls identisch zum ersten Fall) für t1 und x1:
Da nun aber die Kamera ruht, erscheint die Länge L der Kamera nicht verkürzt und es ergibt sich für t3 und x3 einfach:
Aus der Sicht der Kamera ist dieser Fall also deutlich einfacher als der erste Fall. Man sieht leicht, dass beide Strecken vom Licht mit der erwarteten Geschwindigkeit c durchlaufen werden. Diese ist unabhängig vom Objekt. Die Verkleinerung des Objektes auf dem Bild errechnet sich nach dem Strahlensatz zu:
Aus der Sicht des ruhenden Objektes sieht der Ablauf etwas anders aus:
Alle Entfernungen sind hier gleichermaßen um den Faktor Gamma gestaucht:
Außerdem muss man die Bewegung der Kamera während der Lichtlaufzeit beachten, so dass ich die drei Zeitpunkte einzeln dargestellt habe. Zur Verdeutlichung werden die Größen aus der Sicht des Objektes mit einem Strich gekennzeichnet. Von den ungestrichenen auf die gestrichenen Größen kommt man rechnerisch über die Lorentztransformation. Weil ich hier im Gegensatz zum ersten Fall von der Sicht der Kamera ausgegangen bin, muss ich die Rücktransformation verwenden um die gleiche Vorzeichenkonvention zu verwenden:
Auf die Nullpunkte angewandt ergibt sich keine Änderung von Position und Zeit:
Nun können wir ausrechnen, an welchem Ort x1 sich das Objekt befand, als das Licht abgestrahlt wurde und welche Zeit t1 die Uhr in diesem System in dem Moment zeigte:
Aus der Sicht des Objektes muss das Licht also eine weitere Strecke zur Lochblende zurücklegen, braucht dafür aber auch etwas mehr Zeit, so dass die Lichtgeschwindigkeit exakt gleich erscheint.
Nach dem gleichen Muster können wir auch die Strecke, den Ort x3 und die Zeit t1 berechnen, an der das Bild auf dem Film entsteht ausrechnen:
Das Licht braucht also auch von der Lochblende zum Kameraboden aus der Sicht des Objektes etwas länger, weil es bei gleicher Geschwindigkeit eine weitere Strecke zurückgelegt hat. Die Verkleinerung berechnet man aber wieder aus dem Strahlensatz:
Wie man nach dem Relativitätsprinzip erwartet ergibt sich also das gleiche Bild unabhängig davon aus wessen Sicht man den Fall betrachtet.
In den Zeichnungen habe ich die Kamera ganz selbstverständlich um den relativistischen Faktor Gamma verkürzt eingezeichnet. Hier möchte ich kurz überprüfen, ob diese Verkürzung auch rechnerisch herauskommt:
Die Lochblende befand sich definitionsgemäß zur Zeit t'2=0 am Ort x'2=0. Der Kameraboden befand sich zur Zeit t'3, also etwas später, am Ort x'3. Er bewegte sich in der Zeit t'3 mit der Geschwindigkeit v um die Stecke y, die sich berechnet zu:
Die Länge Lr kann man nun errechnen, indem man zurückrechnet, wo sich der Kameraboden zur Zeit x'2 befand:
Die Lorentzkontraktion ergibt sich also wie erwartet.
Letzte Änderung: 12.12.2005
© Joachim Schulz