Konsequenz der Krümmung

Die Konsequenz der zeitlichen Krümmung in der allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass man in einem räumlich begrenzten Aufbau nicht experimentell entscheiden kann, ob man sich in einem beschleunigten System oder in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld befindet. Alle Effekte eines beschleunigten Koordinatensystems existieren auch in einem Schwerkraftfeld. Das gilt nicht nur für den unterschiedlichen Uhrengang, sondern auch für den Ereignishorizont. Wenn ein Schwerkraftfeld stark oder ausgedehnt genug ist, dann erzeugt es ein Gebiet, aus dem keine Information entkommen kann.

Unterschied zur Beschleunigung

Es gibt allerdings auch Unterschiede zwischen Gravitationsfeldern und Beschleunigungen. Zwar lassen sich die in beschleunigten Koordinaten herrschenden Trägheitskräfte nicht von Gravitationskräften unterscheiden, die Krümmung ist aber eine Eigenschaft des Raums, die sich durch Änderung der Koordinaten nicht wegtransformieren lässt. Eine gravitationslose, ungekrümmte Raumzeit ist immer flach, ein Gravitationsfeld weist dagegen immer eine Krümmung auf.

Ein Gravitationsfeld ist nie homogen, es wirkt nicht überall gleich stark und in die gleiche Richtung. Das Gravitationsfeld der Erde zum Beispiel ist nahezu kugelförmig, weil die erzeugende Masse dieses Feldes — die Erde selbst — ebenfalls nahezu kugelförmig ist. Da die Planeten und die Sonne alle etwa kugelförmig sind, haben kugelförmige Gravitationsfelder eine besondere Bedeutung. Sie können durch eine Klasse von Koordinatensystemen beschrieben werden, die den Namen Schwarzschildmetrik trägt.

In der Schwarzschildmetrik ist, ebenso wie beim beschleunigten Koordinatensystem, die Zeit gekrümmt. Uhren scheinen um so schneller zu gehen, je höher sie sich im Feld befinden. Daher kommen die Signale der Satellitenuhren des Navigationssystems GPS mit höherer Frequenz am Boden an, als die im Satelliten erzeugt werden. Zusätzlich zur Zeit ist aber auch der Raum gekrümmt. Das macht sich darin bemerkbar, dass der Umfang eines Kreises weniger als um die Kreiszahl π länger ist als der Durchmesser und dass die Winkelsumme in einem Dreieck kleiner als 180 Grad ist.

In der Standardform der Schwarzschildmetrik ist der Radius r eines Kreises um das Massenzentrum so definiert, dass der Umfang genau 2·π·r beträgt. Der Abstand zweier solcher Kreise ist aber Aufgrund der Krümmung nicht durch die Differenz der beiden Radien gegeben. Diese in der Schwarzschildmetrik definierten Radien sind also nicht identisch zum klassischen Radius, der als Abstand vom Mittelpunkt definiert ist. Die Abstände von Punkten mit gleichem Unterschied im Radius werden nach innen hin immer größer.

Neben der Standardform gibt es auch eine Form der Schwarzschildmetrik, in der sogenannte isotrope Koordinaten verwendet werden. In diesen Koordinaten wird die Kontraktion des Raums gleichmäßig auf Durchmesser und Radius verteilt. Es macht keinen Unterschied ob man entlang des Gravitationsfeldes oder quer zum Feld misst.

Die Möglichkeit, die selbe physikalische Wirklichkeit mit nahezu beliebigen Koordinaten zu beschreiben, ist die eigentliche Stärke der allgemeinen Relativitätstheorie. Die physikalischen Gesetze können unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems formuliert werden.

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Letzte Änderung: 04.11.2012

© Joachim Schulz

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